비유클리드 기하학의 쉬운 이해

유클리드 기하학은 중고등학교에서 배우는 일반적인 기하학이다. 유클리드 기하학은 다음 그림과 같은 2차원 평면 좌표로 나타낼 수 있다.

 

 

위의 평면 좌표에서 "삼각형 세각의 합은 180도 이다"와 "한 직선과 그 직선에 있지 않는 점을 지나며 평행한 직선은 하나이다" 등의 유클리드 공리가 성립한다.

 

만약 위의 2차원 평면 좌표가 아래 그림과 같은 구 표면에 있다면 유클리드 공리가 성립하지 않는다. 아래와 같은 좌표에서는 삼각형 세각의 합은 180도보다 크고 평행한 직선은 존재하지 않는다.

 

 

이와 같이 직각 좌표를 사용하지 않는 기하학을 비유클리드 기하학이라고 부른다. 비유클리드 기하학은 위 그림의 구와 같은 형태의 타원 기하학과 반대 부호의 곡률을 가지는 쌍곡선 기하학이 있다.

 

위에서는 2차원 좌표를 보였지만 3차원, 4차원 등으로 확장할 수 있다. 하지만, 3차원 이상은 직관적으로 이해하기가 어렵다. 왜냐하면 2차원 공간은 3차원 공간으로 곡률을 가져 이해하기 쉽지만 3차원 공간은 4차원 방향으로 곡률을 가지기 때문에 그림으로 표현하기가 어렵기 때문이다.

 

 

아인쉬타인의 일반 상대성 이론에서는 우리가 사는 공간이 유클리드 공간이 아니라고 말한다. 이것이 의미하는 것은 실제 삼각형 세각의 합을 정밀하게 측정해 보면 180도가 아니라는 것을 의미한다.

 

비유클리드 기하학이라는 용어는 가우스가 만들었다.