반응형 수학11 Curl 의 정의와 의미 벡터 필드 F의 Curl은 다음과 같이 정의한다. Curl 연산자는 "▽×" 이다. 아래 식에서 오른쪽 식은 스칼라이고 ▽×F와 n은 벡터이다. (벡터의 내적은 스칼라이다.) 위 식이 의미하는 것은 다음 그림과 같이 벡터 필드 F가 있을 때 ▽×F의 크기는 면적 A의 둘레 C를 따라 적분하여 면적 A로 나눈 값이고 ▽×F의 방향은 면적 A에 수직이다. 면적 A가 작아짐에 따라 A의 둘레 C를 따라 적분한 값 또한 작아진다. 그래서, 이 둘을 나누면 수렴하는 극한값을 가지게 되고 이 값이 벡터 필드 F의 특정 위치에서의 Curl 이다. F는 벡터 필드이고 ▽×F은 벡터이다. 벡터와 벡터 필드는 다르다. Curl을 이해하기 위해서는 벡터 필드를 먼저 이해해야 한다. 2018. 2. 18. 입체각 정의 다음 그림과 같은 반지름 r 인 구에서 구의 표면적이 r2 인 입체각 (Steradian, Square Radian)을 1 sr 이라고 한다. 구의 표면적은 S = 4πr2 이므로 구 전체의 입체각은 4π sr 이다. 평면에서 원을 한 바퀴 돌 때 각도가 2π rad이고 입체각은 2배인 4π sr 이다. 1 sr을 이루는 콘을 단면으로 잘랐을 때 각도는 다음 그림과 같이 약 65.54 도이다. 2018. 2. 9. 비유클리드 기하학의 쉬운 이해 유클리드 기하학은 중고등학교에서 배우는 일반적인 기하학이다. 유클리드 기하학은 다음 그림과 같은 2차원 평면 좌표로 나타낼 수 있다. 위의 평면 좌표에서 "삼각형 세각의 합은 180도 이다"와 "한 직선과 그 직선에 있지 않는 점을 지나며 평행한 직선은 하나이다" 등의 유클리드 공리가 성립한다. 만약 위의 2차원 평면 좌표가 아래 그림과 같은 구 표면에 있다면 유클리드 공리가 성립하지 않는다. 아래와 같은 좌표에서는 삼각형 세각의 합은 180도보다 크고 평행한 직선은 존재하지 않는다. 이와 같이 직각 좌표를 사용하지 않는 기하학을 비유클리드 기하학이라고 부른다. 비유클리드 기하학은 위 그림의 구와 같은 형태의 타원 기하학과 반대 부호의 곡률을 가지는 쌍곡선 기하학이 있다. 위에서는 2차원 좌표를 보였지만.. 2018. 1. 7. Divergence의 정의와 이해 Divergence의 정의는 다음 식과 같다. Divergence은 벡터 필드 (Vector Field)에서 벡터의 발산 정도를 나타내는 스칼라 이다. 다음 그림과 같은 점 p에서 들어오는 벡터의 크기와 나가는 벡터의 크기의 합이 Divergence 이다. 다음 그림의 왼쪽 그림은 나가는 벡터만 있고 Divergence는 항상 양수이고 오른쪽 그림의 벡터의 Divergence는 항상 음수이다. 3차원 직교 좌표 공간에서 벡터 필드 의 Divergence는 다음 식과 같다. Divergence는 스칼라 이다. Divergence를 이해하기 위해서는 벡터 필드를 먼저 명확하게 이해해야 한다. Divergence 계산 예#1 1차원 공간에서 벡터 필드가 일 때 Divergence는 다음 식과 같다. 위 식의 .. 2017. 12. 14. Gradient란 무엇인가? 미분이 변수가 한 개인 함수에 대한 기울기를 구하는 것이라면 Gradient는 다변수 함수에 대한 기울기를 구하는 것이다. 함수 f에 대한 Gradient는 다음과 같이 표기한다. 또는 또는 미분의 결과값은 스칼라이지만 Gradient의 결과값은 벡터이다. 1차원 직교 좌표 공간의 Gradient는 다음 식과 같다. 2차원 직교 좌표 공간과 3차원 직교 좌표 공간에 대한 Gradient는 다음 식과 같다. 1차원 공간의 Gradient 다음과 같은 식에서 ( f(x)는 x와 f(x)의 2개 변수로 구성된다 ) 위 식의 Gradient는 다음 식과 같다. 다음 그래프에서 파랑색은 f(x)의 그래프이고 Gradient는 다음 그래프의 빨강색과 같다. Gradient는 x 좌표에 따른 기울기를 나타내는 벡터이.. 2017. 12. 14. 중고등학교에서 배우는 기하학의 이해 중고등학교에서 배우는 기하학은 고전 기하학과 근대 기하학(해석 기하학, 대수 기하학) 두 분야를 모두 배운다. 고전 기하학은 고대 그리스부터 발전된 기하학으로 중학교 수학에서 배운다. 근대 기하학은 17세기 데카르트에 의해 발견된 직교 좌표계를 이용한 해석 기하학으로 고등학교 수학에서 배운다. 고등학교에서 배우는 공간도형 분야도 좌표를 이용하지 않은 고전 기하학과 좌표를 이용한 해석 기하학의 두 부분으로 구성되어 있다. 고전 기하학을 중학교에 배우고 해석 기하학을 고등학교에서 배우지만, 고전 기하학은 해석 기하학에 비해 문제를 풀 때 어려운 면이 있다. 해석 기하학은 대부분의 문제를 있는 그대로 순차적으로 풀면 되지만, 고전 기하학은 각 문제에 따라 푸는 방법이 각각 다른 경우가 많기 때문에 처음 접하는.. 2017. 10. 29. 고속으로 파이 (PI) 계산하는 방정식 1914년 인도 수학자 Srinivasa Ramanujan에 의해 발견된 Pi 계산 방정식은 다음과 같다. 2017. 10. 2. 타원의 성질 아래 그림의 타원(Ellipse)에서 타원의 한 초점 F1에서 입사된 빛이 타원에 반사되면, 반사 빛은 다른 초점 F2를 지난다. (빨강 선) 타원 외부에서 타원의 한 초점 F2을 향해 들어오는 빛이 타원에 반사되면, 반사 빛은 다른 초점 F1을 지나는 경로에 있다. (파랑 선) 2017. 10. 2. 타원의 넓이 계산 위의 그림과 같은 타원(Ellipse)의 넓이는 다음과 같다. 증명타원의 방정식은 다음과 같다, 위 식은 다음의 원의 방정식에 b/a를 곱한 식과 동일 한다. 타원 방정식의 적분은 원의 방정식을 적분한 값에서 b/a를 곱한 것과 같다. 즉, 원의 넓이에 b/a를 곱한 것과 같다. 2017. 10. 2. 이전 1 2 다음 반응형
