Infinite Potential Well에서 슈뢰딩거 방정식 해석

Infinite Potential Well (우물)은 다음 그림과 같다.

위와 같은 Potential 분포를 다음의 슈뢰딩거 방정식의 V에 적용하여 방정식을 푼다.

                               (1)

위와 같은 2차 편미분 방정식은 일반해가 존재하지 않고 풀기가 매우 복잡하기 때문에 x와 t를 분리하여 Time-independent 방정식으로 풀어야 한다.

위와 같은 Potential에 입자가 Well 안에 있을 때 슈뢰딩거 방정식을 풀면 다음 식과 같다.

   (2)

여기서, A와 B는 임의의 복소수이다.

위의 식에서 에너지 E와 k와 w의 관계식은 다음과 같고 Dispersion Relation이라고 한다.

                                                (3)

위의 Dispersion Relation에서 다음 식과 같은 k와 w의 관계식이 성립한다.

                                                             (4)

위의 식 (2)에서 A와 B는 임의의 복소수이고 Boundary Condition을 적용하여 풀면 다음 식과 같다. Well의 양끝에서 해가 연속 함수가 되기 위해서는 Well 양끝에서 함수값이 0이 되어야 한다.

      (5)

여기서,

                                                             (6)

                                     (7)

위 식에서 C는 절대값이 다음 식과 같은 임의의 복소수이다. 확률 분포는 전체 영역에서 1이 되어야 한다. (Normalization)

                                                              (8)

x 축에서 입자가 발견될 확률은 다음 식과 같다.

                                                 (9)

n이 0일 때는 Well에 입자가 존재하지 않는 상태이다.

n이 1일 때는 입자가 존재할 확률은 다음 그림과 같다.

n이 2일 때는 입자가 존재할 확률은 다음 그림과 같다.

n이 3일 때는 입자가 존재할 확률은 다음 그림과 같다.

식 (3)와 (7)과 같이 입자의 에너지가 증가할 수록 n이 증가한다. 즉, Well에 큰 에너지의 입자가 있으면 큰 n 값을 가지는 확률 분포를 가진다.

이러한 슈뢰딩거 방정식의 해를 쉽게 이해할 수 있는 것은 원자핵과 전자이다. 원자핵의 플러스 전하에 의한 포텐션에 갇힌 전자가 존재하는 확률 분포는 전자의 에너지에 따라 변하게 된다. 이러한 전자 확률 분포의 모양이 오비탈(Orbital)이다.

슈뢰딩거 방정식 관련 방정식은 이해하기가 어려운 이유는 슈뢰딩거 방정식은 2차 편미분 방정식을 푸는 수학적인 문제와 이러한 수학적인 해를 물리적으로 해석하는 2가지의 복잡한 문제가 복합적으로 엮여 있기 때문이다. 식 (1)번에서 (2)로 변환되는 것은 순수하게 편미분 방정식을 푸는 수학 문제이다.

수학은 물리를 이해하기 위한 수단이기 때문에 처음에는 물리적인 개념을 이해하는데 집중하여야 한다.

# 슈뢰딩거 방정식의 이해