슈뢰딩거 방정식 (Schrodinger Equation)의 간단한 이해

슈뢰딩거 방정식 (Schrodinger Equation)은 양자역학에 사용되는 중요한 방정식이다. 하지만, 처음에 이해하기가 매우 어렵다.

1. 뉴턴 역학 방정식

다음 그림과 같이 x 축에 물체가 놓여 있다고 가정하자.

위의 물체가 다음 그림의 빨강색과 같은 Potential을 가지는 공간에 놓여졌다고 가정한다.

위와 같은 V의 Potential에 놓여지면 물체는 그림의 F와 같은 방향으로 힘을 받고, 받는 힘 F는 Potential을 미분한 다음 식과 같다.

뉴턴 법칙에 의해 물체의 운동 방정식은 다음과 같다.

 

위 식을 정리하면 다음과 같다.

2. 슈뢰딩거 방정식 (Schrodinger Equation)

위와 동일한 조건에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

슈뢰딩거 방정식의 해는 다음과 같이 위치 x와 시간 t의 함수이다. (미분 방정식의 해는 특정 값이 아니라 함수이다.)

슈뢰딩거 방정식의 해는 복소수값이 나올 수도 있다. 슈뢰딩거 방정식의 절대값은 입자가 발견될 확률을 나타낸다. x축의 a와 b 사이에서 입자가 발견될 확률은 다음 식과 같다.

슈뢰딩거 방정식은 2차 편미분 방정식으로 일반해가 존재하지 않는다. 위 식은 x축 만을 나타냈지만 실제 슈뢰딩거 방정식은 3차원 공간으로 표현된다. 실제 3차원 슈뢰딩거 방정식을 풀기 위해서는 고성능 컴퓨터가 필요하다.

다음 그림과 같은 형태의 Potential을 Infinite Potential Well (우물)이라고 부르고, 교과서에서 슈뢰딩거 방정식의 가장 기본적인 해석을 위해 사용된다.

다음 그림과 같은 형태의 Potential을 Finite Potential Well (우물)이라고 부른다. 아래와 같은 형태의 Potential 안에 있는 입자가 들어 있을 때, 입자의 운동 에너지가 Potential 차이 보다 작으면 고전역학에서는 입자가 절대로 빠져나올 수 없다. 하지만, 고전역학에서는 입자의 운동 에너지가 낮아 Potential Well에서 입자가 빠져 나올 수 없는 경우라도 슈뢰딩거 방정식을 적용하여 풀면 Well 바깥으로 입자가 존재할 수 있다.

# Infinite Potential Well에서 슈뢰딩거 방정식 해석