훅의 법칙과 진동 방정식

훅의 법칙(Hooke's law)는 용수철의 특성을 나타내고 다음 공식과 같다.

x는 처음 위치에서 변한 용수철의 길이이고 F는 x일 때의 용수철이 받는 힘이고 k는 용수철 상수이다.

질량 m인 물체가 용수철에 매달려 있을 때, 용수철을 당긴 후 놓으면 용수철이 진동한다. 이 때 진동하는 주파수는 다음 식과 같다. 시간이 지나면 저항에 의해 진동이 조금씩 줄어 들지만 주파수는 변하지 않는다.

시간에 관한 함수로 나타내면 뉴턴 2법칙과 훅의 법칙을 결합하여 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.

위 식을 다시 정리하면 다음과 같다.

여기서,

위의 2차 미분 방정식의 해는 다음과 같다.

위의 식에서 A,B는 초기 조건으로 구할 수 있다.

위 식은 마찰이 없는 것으로 가정하고 구한 식으로 마찰이 없기 때문에 용수철 진동이 멈추지 않고 동일한 진폭으로 계속 진동한다.

중력은 짧은 거리에서 계산할 때 거리에 관계없이 일정한 중력 가속도 값을 사용하여 계산하지만, 용수철은 거리에 따라 힘이 변하기 때문에 방정식이 조금 복잡하다.