지수함수 미분 공식 증명

지수함수는 미분해도 지수함수이다. 이러한 특성으로 인해 많은 물리 현상이 지수함수의 성격을 가진다. 왜냐하면, 많은 물리현상은 미분 방정식으로 표현 되는데 미분 방정식의 해가 지수함수인 경우가 많기 때문이다.

다음 식과 같이 지수함수 (Exponential Function)를 미분해도 원래 지수함수와 같다.

미분의 정의를 이용하여 지수함수의 미분을 다음 식과 같이 구할 수 있다.

중간 증명 1

위의 식에서 가 1이 되는 이유는 다음과 같다.

에서 k를 다음과 같이 대입한다.

k를 대입하여 정리하면 다음 식과 같다.

중간 증명 2

위의 식에서 이 1이 되는 이유는 다음과 같다.

e의 정의는 다음과 같다. 이 식은 증명이 필요 없는 정의이다.

n에 1/n을 대입하면 다음 식과 같다.