중심극한 정리 (Central Limit Theorem) - 물리 현상은 왜 정규분포를 이룰까?

확률의 중심극한 정리 (CLT, Central Limit Theorem)은 처음 접하면 매우 신기한 현상이다.

중심극한 정리는 임의의 확률분포를 가지는 랜덤변수를 더하여 평균을 구하면 정규분포(가우스 분포)를 가진다는 정리이다. 여기서, 더해지는 랜덤변수들은 동일한 확률을 가지며 확률분포는 어떠한 형태를 가져도 된다.

다음의 왼쪽 그림과 같은 확률분포를 가지는 랜덤변수를 더한 평균은 오른쪽 그림과 같은 정규분포를 이룬다.

랜덤변수 X의 평균과 표준편차는 다음과 같을 때,

랜덤변수 X를 더한 평균의 평균과 표준편차는 다음과 같다.

대부분의 물리 현상은 정규분포를 이룬다. 물리 현상이 정규분포를 이루는 이유를 중심극한 정리로 설명할 수 있다. 물리 현상의 내부 확률분포는 정규분포가 아니더라도 더한 평균은 모두 정균분포가 된다.