선형 시스템(Linear System)이란 무엇인가?

선형 시스템은 다음 식으로 정의한다.

여기서, H가 선형 시스템의 특성을 나타내는 연산자이다.

서로 다른 입력 X1과 X2가 중첩되어 입력될 때, 시스템의 출력은 각각의 입력에 대한 출력을 구한 후 더하면 최종 결과를 구할 수 있다. 즉, 중첩 원리가 적용됨을 의미한다. 그리고, 스케일 되는 a와 b 또한 스케일 되기 전의 입력에 대한 출력을 구하고 그 출력에 스케일 값을 곱하면 최종 출력값을 구할 수 있다는 것을 의미한다.

뉴턴 역학으로 해석할 때 한 물체에 2가지 힘이 작용한다면 각각의 힘에 대한 운동 방정식을 푼 후 그 결과를 더하면 최종 결과값을 구할 수 있다. 또한, 가해지는 힘이 2배가 된다면 결과값도 2배로 하면 된다. 즉, 뉴턴의 운동 방정식은 선형 방정식이다.

뉴턴의 가속도, 속도, 거리에 관한 운동 방정식은 선형이지만, 아인슈타인의 운동 방정식은 비선형이다.

선형 시스템이 중요한 이유는 선형 시스템에 관한 수학적 이론이 거의 완벽하게 완성되어 있기 때문이다. 즉, 어떠한 시스템이 선형 시스템이라면 그에 관한 다양한 수학적 이론을 적용하여 분석할 수 있다. 하지만, 시스템이 비선형 시스템이라면 그에 관한 수학적 이론이 부족하기 때문에 수학적으로 분석하기가 어렵고 컴퓨터 시뮬레이션을 해야 한다.

실제 물리 현상은 비선형 시스템인 경우가 많다. 그럴때는 근사적으로 선형 시스템으로 모델링하여 해석하는 경우도 있다.

# 회로의 중첩 원리