퓨리에 변환 (Fourier Transform)의 물리적 의미

퓨리에 변환의 정의는 다음과 같다.

퓨리에 역변환 (Inverse Transform)은 다음과 같다.

퓨리에 변환은 신호의 주파수 성분을 나타내는 식이다. 하지만, 퓨리에 변환값은 복소수이고 또한 주파수가 마이너스가 된다. 그래서, 퓨리에 변환의 물리적 의미를 바로 이해하기가 어렵다.

 

조셉 퓨리에가 처음 퓨리에 변환을 만들 때는 위와 같은 복소수로 정의하지 않았다. 퓨리에가 처음 정의한 퓨리에 변환을 현재는 코사인 변환(Cosine Transform)과 사인 변환 (Sine Transform)이라고 하고 다음과 같이 정의한다.

위의 식에서는 복소수도 없고 마이너스 주파수도 없다. 위의 식은 신호가 삼각 함수의 합으로 구성된다는 것을 직관적으로 알 수 있고 주파수 성분을 쉽게 알 수 있다. 위의 식에서 주파수가 동일한 코사인 함수와 사인 함수의 합은 위상각을 가지는 코사인 함수가 된다. 마이너스 주파수가 없기 때문에 2가 곱해진다.

 

퓨리에 변환을 코사인 변환과 사인 변환으로 정리하면 다음 식과 같다.

퓨리에 변환으로 구해진 실수부를 2배하여 a를 구하고 허수부를 -2배하여 b를 구할 수 있다.

 

결국, 퓨리에 변환으로 구한 복소수의 실수부와 허수부 각각 2배와 -2배를 한 후, 그 복소수의 크기와 위상각으로 나타낸 코사인 함수가 주파수 성분이 된다.

 

주파수 스펙트럼은 주파수에 따른 크기와 위상 2가지로 나타낸다. 크기는 주파수에 따른 크기이고 위상은 주파수에 따른 위상 지연을 나타낸다.

 

코사인,사인 변환이 물리적 의미를 이해하는데 보다 직관적이기 때문에 신호 처리에서는 퓨리에 변환 보다 코사인,사인 변환을 더 많이 사용한다.

 

주기 함수의 주파수 성분은 퓨리에 변환으로 구할 수도 있지만 퓨리에 급수로 구할 수도 있다.

 

PWM 신호의 퓨리에 변환