DFT 정의와 특성

DFT의 정의

DFT(Discrete Fourier Transform)의 정의는 다음과 같다.

DFT는 실수부의 코사인 필터와 허수부의 사인 필터 2개로 구성되고 모두 FIR 필터이다. 실수부의 코사인 필터는 다음과 같다.

 

DFT의 정규화 (Normalization)

위와 같은 코사인 FIR 필터에서 필터 계수 a를 곱한 후 a의 합으로 나누어 주어야 한다. 하지만, 코사인 필터의 a의 합은 0이기 때문에 나누어 줄 수가 없다. 그래서, 코사인 필터의 출력 크기는 입력 크기보다 커지게 된다. 이것은 사인 필터에서 동일하게 적용된다.

 

코사인 필터 또는 사인 필터의 출력 크기를 입력 크기와 같게 맞추는 Normalization은 다음 식과 같이 한다. n이 0 또는 N/2일 때는 1/N을 나누고 n이 그 이외일 때는 2/N으로 나누어 주어야 한다.

DFT의 Normalization이 n에 따라 달라지는 이유는 DFT는 시간에 불연속적인 신호이기 때문에 윈도우의 끝단에서 비대칭적인 모양을 하기 때문이다. (DFT 예 참조)

 

DFT의 계산

다음 식과 같은 DC 성분이 1인 코사인 함수의 DFT를 계산해 보자

위 식의 파형은 다음과 같다.

위 식의 DFT는 다음 식과 같다.

위의 DFT 식에서 구해지는 복소수의 크기는 다음 그림과 같다.

n이 0인 DC 성분의 크기는 12이고 n이 1인 주파수 성분의 크기는 6이다. 실제 크기를 구하기 위해서는 정규화 (Normalization)를 해야 한다.